David Bai · 2026-08-22 · 系于 托尔斯泰书 4.1
今天人们之所以记得安德烈·安德烈耶维奇·马尔可夫，是因为现代概率论里一个重要的部分：马尔可夫链（更广泛的说是马尔可夫过程）。在数学家看来，马尔可夫链是一个漂亮的抽象模型——在这样的系统里，下一步会发生什么，其概率只取决于系统此刻所处的状态，而不依赖于它之前走过的全部历史。
有趣的是，马尔可夫想出马尔可夫链，和帝俄末年一场激烈的哲学冲突有关。那时候，概率、人的自由意志、和神的恩典出人意料地纠缠在一起，而马尔可夫是一个绝不让步的唯物论者，他认为数学是一门由自身内在逻辑支配的学问，不是用来证明神学教义的工具。那个带宗教倾向的莫斯科数学学派的说法，与他的想法相碰撞，于是催生了二十世纪概率论里马尔可夫链这个具有奠基性意义的分支。
马尔可夫对宗教权威的反抗不止如此，还直接挑衅让他们把他和托尔斯泰一样逐出教门。他也同样反对沙皇的专制，直到帝俄的崩塌，在布尔什维克治下继续做研究。只是，后来在他死后，苏维埃把他的名声用在了捍卫他们自己的意识形态上。
所以马尔可夫的一生构成了一个非同寻常的悖论。他一辈子都在抵抗教条，无论宗教的还是政治的；而他死后却被一个政权拿去服务他们的教条。好在他的数学熬过了这一切冲突，因为数学之真与政治的、宗教的教义不同，它不取决于谁在台上。
十九世纪末到二十世纪初，俄国数学家开始注重哲学甚至神学成分。莫斯科学派有一批数学家经常把数学与哲学、宗教的观念连起来。比如尼古拉·布加耶夫，他发展出自称为“算术论”（arithmology）的一套东西，试图从连续与间断这类数学概念里引出哲学结论，说其中的断层是由上帝来维持的。帕维尔·涅克拉索夫同样对概率论、社会统计与人的自由这三者之间的关系颇有兴趣。
而以帕夫努季·切比雪夫及其学生为代表的圣彼得堡数学传统，则倾向于严格而务实的路子。马尔可夫是这一路最强硬的代表人物之一。涅克拉索夫成了马尔可夫的学术和思想的对头。
他们俩争论的中心是概率论里的大数定律。这个定律是概率论与统计学中的基础定律。它指出，当重复试验的次数足够多时，随机事件发生的平均结果会非常接近它的期望值（理论概率）。比如，多次掷一个正常的硬币，平均出现正面和反面的比率是50%，也就是它们的理论期望值。
当时，人们认为这个定律有一个条件，就是每次实验之间是相互独立的。这一次掷硬币出现什么和下一次没有关系。如果它们之间有关系，则这个定律就可能不成立。
涅克拉索夫用神学来解释大群体中观察到的这种稳定的统计规律性。他说，社会统计的稳定性——犯罪率、结婚率以及别的集体现象——可以用个人决定的相互独立来解释，因为独立是这个定律成立的必要条件。社会上所呈现的规律性，就等于是对组成它的那些个人有自由意志的一项证明。进一步，他说是上帝给了人自由意志。他们的决定虽然彼此不同，看起来很混乱，但上百万人决定的结果却是很有规律性的，这体现了上帝设计的伟大和他给人自由意志的恩典。
在马尔可夫看来，这个解释走得太远。概率论没有必要变成一项神学论证。正好，他洞察到，这种独立性并不是统计上规律性的必要条件。
这场分歧不只是哲学和神学的问题。它变成了一道数学题。
马尔可夫的回应带着他一贯的作风：与其抽象地争论概率的哲学含义，不如创造出数学的反例来说明大数定律的条件到底是什么。
从一九〇六年起，他研究并证明了：即使前后相继的观测彼此关联，统计上的规律性依然存在。
这个研究就引出了我们今天所说的马尔可夫链。
马尔可夫链描述的是这样一种随机过程：下一个状态的概率取决于当前状态，而不取决于此前状态的整个序列。这条性质被称作马尔可夫性。
这个想法把问题弄得非常简单。设想一个可以处在若干不同状态的系统。一旦知道它此刻在哪里，我们就不必把它的过去全部重建一遍才能算出它下一步的概率。当前状态已经含有走下一步所需要的所有信息。
这个随机过程很重要，因为它的下一步依赖目前的状态，这两步不是独立的。马尔可夫要在这样的过程基础上，证明稳定的统计规律依然存在，不以完全独立为前提。
也就是，相互依赖的一系列随机事件同样可以产生稳定的长期行为。当然，对于一个数学家来说，更重要的是给定这个规律成立的条件。马尔可夫给的条件是“遍历性”。简单的解释，如果后面的事件结果跟前面的一样，不再变化，那就不是遍历的。换句话说，所有可能的结果，都有可能达到，那就是遍历的。
在一个遍历的马尔可夫系统里，初始状态的影响会逐渐消失。经过足够长的时间，系统趋近于一个稳定的统计分布。单个的结果虽然仍然不确定，但系统整体的行为却变得相当可预测。
大数定律只是随机变量的极限定理之一，马尔可夫的工作推动了相依随机变量的极限定理这一更广的领域。
经典的中心极限定理描述了概率论中最引人注目的现象之一：在适当条件下，大量随机变量的和或平均值趋向于正态分布，也就是那条人们熟悉的钟形曲线。
传统的表述强调观测之间相互独立。但现实世界里的现象很少是完全独立的。
今天的气温与昨天的气温有关。一项资产的价格受它近期走势的影响。句子里的词受周围的词约束。物理系统把信息从这一刻带到下一刻。
马尔可夫证明了在适当的条件下，中心极限定理对相依随机变量依然成立。
所以马尔可夫这项工作的意义，属于概率论一次非常大的转向，它使得数学家越来越懂得如何去描述那些随机与相依并存的系统。从应用的角度，可以说是天翻地覆。
既然独立性不需要了，涅克拉索夫的所谓人的自由意志就不是社会统计指标稳定的必要条件。神学的解释也就不必要了。
人们也许会说，涅克拉索夫怎么说有那么重要吗？那个时候，教会和沙皇是绑定在一起的绝对权力机关。涅克拉索夫和他在的莫斯科学派的神学观点，是舆论的重要手段，是非常重要的。
马尔可夫做的是数学证明，当然很抽象。一般人也不一定理解。他于是做了一个科普一样的事情，把他的抽象数学带进了人类语言的领域。
一九一三年，他做了概率论早期应用中最有名的一次尝试。他分析了普希金的诗体小说《叶甫盖尼·奥涅金》中的一段文字，把那段文字化约成一个只有两类的序列：元音与辅音。
这样的做法是有目的的。把语言变成状态序列之后，马尔可夫就可以问一个有力的问题：下一个字母出现的概率，有多少取决于紧挨着它的前一个字母？
如果这些元音和辅音都是独立出现的，那么两个元音连着出现的概率，只要把各自的频率相乘即可。但实际的文本呈现出完全不同的模式。元音跟在元音后面的可能性，远低于独立假设所预测的；而辅音与元音之间显示出很强的转移关系。
换句话说，语言不是一堆彼此独立的字母选择随便凑在一起。下一个字母受前一个字母的约束。这当然也是很自然的。但这提供了他要说明问题的材料。
他证明，这种相依性并没有让文本在统计规律上更混乱。恰恰相反，这个序列的整体行为还是可以用统计规律来描述，包括前面说过的大数定律和中心极限定理。
这个实验之所以重要，正因为其材料是人的语言。马尔可夫把这样一个与个人的创造和表达连在一起的东西拿过来，证明了它可以被当作随机过程来处理，也能得到一些想不到的结论。
他并不是主张人是机器，也没有主张文学可以化约为数学。他的实验证明的是反方向，从而指出更深刻的道理：人造出来的复杂样式，如语言，含有能够被测量的统计结构，测量结果并不否认它的复杂。
随着计算机的兴起，马尔可夫这个实验的意义变得更加清楚。
马尔可夫模型背后的基本想法——下一个出现什么字母，其概率可以从前面的状态估出来——成了早期以计算处理语言的根本办法。语音识别、输入预测、统计机器翻译、n 元语法模型，用的都是同一条原理的不同版本：语言序列可以用概率来建模。
现代的人工智能远比一条马尔可夫链复杂。大型语言模型并不是照搬马尔可夫那套数学机器，把今天的人工智能说成一条巨大的马尔可夫链，是会误导人的。
但其中确实有一条真实的思想脉络。
马尔可夫帮助确立了一种看待语言的方式：把语言看作一个含有可测量的概率关系的序列。一百年后，语言模型在极大的尺度上依据同一条粗略的直觉运作：给定上下文，估计下一步可能出现什么的概率分布。后来的信息论之父克劳德·香农（Claude Shannon）与妻子贝蒂（Betty）也曾做过类似的工作，他们喜欢玩一个猜字母的“饭后游戏”。香农读书中的英文，贝蒂预测下一个字母。这正是今天所说的“下一个符号预测”（next-token prediction）的雏形，它揭示了语言的统计规律与信息压缩之间的关系。
差别是在数学架构和规模。马尔可夫处理的是一个极小的状态空间——元音与辅音——并且用手算转移概率。现代语言模型运作在庞大的参数空间、高维的表示和复杂得多的相依关系之上。
但这一段观念上的旅程仍然令人惊叹。
一九一三年马尔可夫对《叶甫盖尼·奥涅金》做的一次数学实验，开创了一项一个多世纪后能够自动生成语言的技术的思想谱系。
马尔可夫的思想独立并不限于数学之内。
他对帝俄的政治权威和体制权威同样怀有深深的敌意。这一点在一九〇二年表现得最清楚：科学院选举马克西姆·高尔基为荣誉院士，尼古拉二世下令作废这次选举。马尔可夫提出抗议，拒绝承认这一作废。
马尔可夫不肯把科学上的诚实与个人的原则分开。他拒绝那些他认为已被政治权威玷污的荣誉与特权，也愿意去正面顶撞那些他认为已经交出自己独立性的机构。
他对宗教权威的敌意更加直白。
一九〇一年二月，俄国东正教会把列夫·托尔斯泰逐出教门（托尔斯泰书 4.1）。一九一二年，马尔可夫的回应是：上书请求把他自己也逐出去。在那份呈文里，他公开否弃教会的教义，并且挑战它的权威。
这个举动是有意挑衅的。
马尔可夫不只是在表达私下的不信。他是在把宗教权威的机器掉转过来对着它自己。如果教会可以因为托尔斯泰否弃它的教义而把他排除出去，那么马尔可夫等于是在说：我也否弃，请你照样把我排除出去。
他得到了他想要的回应。
马尔可夫被逐出了教门。
这件事的分量不在它的戏剧性。它显出一条贯穿他一生的原则：他不肯让任何一个机构——宗教的、政治的或者学术的——来划定思想判断的边界。圣议会送到托尔斯泰手里的那样东西，马尔可夫是自己去讨来的（参见托尔斯泰书 4.14）。
接着，马尔可夫周围的世界坍塌了。
一九一七年的俄国革命摧毁了他一生事业所依托的政治秩序。内战、经济失序、饥饿和体制的瓦解改变了日常生活的样子。
马尔可夫本人越来越衰弱。他的健康恶化，工作的条件变得极其艰难。可是他继续教书，继续做数学。
当正常的大学授课变得困难甚至不可能时，他就在任何可能的条件下继续教学生，包括在自己家里。
这份坚持是他性格中不那么戏剧、却更能说明问题的一面。马尔可夫对数学的投入，不依赖于舒适、体制的声望或者政治的稳定。
在新的布尔什维克政府之下，他与国家的关系是务实的，而不是意识形态的。他去争取活下去和继续做科学所必需的资源，但没有把自己的数学变成政治宣传。
在生命的最后几年里，他仍在修订他那部概率论的主要著作。
他死于一九二二年。
他周围的政治制度已经彻底换过。他一生所研究的那些数学问题没有换。
马尔可夫这个故事有一个反讽，出现在他死后。
苏维埃政权后来把马尔可夫收进了一个科学家的万神殿——用来证明科学理性天然属于新的社会主义秩序。
这一套说法有明显的吸引力。马尔可夫曾经公开批评东正教会，是个坚定的唯物论者。于是他的一生可以被讲成苏联无神论的先声。
但这个讲法掩盖了一件根本的事。
马尔可夫反对宗教教条，是他那个更大的承诺——思想独立——的一部分。他并不是为了不加追问地服从另一个权威，才去拒绝一个权威的。
而苏维埃发展出了它自己的意识形态正统。
在斯大林治下，政治教义渗进了思想与学术生活，后果极其惨烈。科学家和数学家可能遭到迫害，不是因为他们做错了数学，而是因为他们有错误的哲学归属、错误的出身或者错误的政治关系。
受害最深的那些人，恰恰来自当年那场争论的莫斯科一边——正是马尔可夫一生都在拒斥其数学神学的那个学派。
他的老对手涅克拉索夫，一九一七年革命之后试图调整自己去适应新政权，一九一八至一九一九年间讲授数学经济学，并尝试研究马克思主义。他死得比较早，一九二四年因肺炎卒于莫斯科。而在他身后的二十年代末至三十年代，他生前的思想和学术路线被当成了“反动和受宗教影响”的典型靶子，遭到猛烈声讨。德米特里·叶戈罗夫，一位与宗教哲学有关联的杰出数学家，被捕，绝食后死去。帕维尔·弗洛连斯基，既是数学家又是东正教神父，被囚，最终被处决。尼古拉·卢津，俄国最有名望的数学家之一，在一九三六年成了一场臭名昭著的政治运动的靶子。在那样一个地方，可怕的不是它会出错，而是没有人能说“这里错了”（参见萨哈罗夫书 3.9—3.13）。
这个反讽是无法不看见的。
马尔可夫，一个曾经抵抗宗教意识形态侵入数学的人，后来被一个要求思想生活在意识形态上保持一致的政治制度，变成了一个象征。
人换了。
把数学变成教条工具的那份诱惑没有换。
那些试图从概率里推出神学结论的莫斯科数学家，其错误在于他们假定：一条数学定理能有助于一个神学问题。但一条概率定律描述的是从一组数学假设里推出什么。
马尔可夫证明的是：那个数学结论并不需要那个神学前提。
但后来的苏联经历，显出了教训的另一面。
否弃宗教教条，并不自动带来思想自由。一个社会可以把上帝从它的公共意识形态里搬走，再用政治正统替换宗教正统。语言换了，对一致的要求还在。
数学不属于某个教会、某个国家或者某个政党。它的力量恰恰来自它独立于这些东西。一条定理是真的，不管它方便还是不方便，不管它被褒扬还是被压制，也不管证明它的那个人是被称颂还是被谴责。
马尔可夫链描述的是秩序如何从相依中产生。马尔可夫的一生提示的是另一种秩序：当一个人拒绝把理性交给权威时，所产生的那种连贯性。
这就是为什么一个多世纪之后，我们还是要说说他的故事。
画廊 →画廊不是经文。此处文章皆署名、皆可出错、皆可被驳，且永不得改写入经文。（参 会规 7.3）